Jacobi Elliptic Functions

定义 Definition

雅可比椭圆函数：一类重要的特殊函数，通常记作 **sn(u, k)、cn(u, k)、dn(u, k)**。它们可以看作三角函数在“椭圆积分”背景下的推广，广泛用于数学物理（如摆的运动、波动与非线性方程）、复分析与积分计算等领域。（在不同教材中也会用参数 m = k² 表示模数相关量。）

发音 Pronunciation (IPA)

/dʒəˈkoʊbi ɪˈlɪptɪk ˈfʌŋkʃənz/

例句 Examples

Jacobi elliptic functions generalize sine and cosine for problems involving elliptic integrals.
雅可比椭圆函数把正弦与余弦推广到涉及椭圆积分的问题中。

In the analysis of a nonlinear pendulum, the solution can be expressed in terms of Jacobi elliptic functions rather than elementary trig functions.
在非线性摆的分析中，解往往需要用雅可比椭圆函数来表示，而不是用初等三角函数。

词源 Etymology

“Jacobi”来自德国数学家 Carl Gustav Jacob Jacobi（雅可比） 的姓氏；“elliptic（椭圆的）”源于这类函数与椭圆积分密切相关（椭圆积分最早与椭圆弧长等问题联系紧密）；“functions”即函数。整体名称体现了：这组函数是在雅可比的工作中被系统整理并广泛使用的、与椭圆积分相配套的函数体系。

相关词 Related Words

• Elliptic Integral
• Modulus
• Amplitude
• Theta Function
• Weierstrass Elliptic Function
• Special Functions
• Complex Analysis
• Nonlinear Dynamics

文学与著作中的使用 Literary Works

• Whittaker & Watson, A Course of Modern Analysis（经典分析教材，系统涉及椭圆函数与相关理论）
• Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions（权威函数手册，包含雅可比椭圆函数的定义、性质与表格）
• NIST, *Digital Library of Mathematical Functions (DLMF)*（现代标准参考库，提供严谨定义与公式）
• Byrd & Friedman, Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists（工程与应用取向，频繁使用雅可比椭圆函数）
• Lawden, Elliptic Functions and Applications（专门讨论椭圆函数及其应用）